抽象代数的入门课程，就像是一场思维训练，计算量不大，但是内部逻辑却不太容易搞明白。本文，借助3阶置换群，来介绍一下共轭类的相关概念。
工具/原料
电脑
Mathematica
基本结构
1、三阶置换群S3是由两个元素生成的：x：对换第一个元素和第二个元素；y：轮换，第二个元素跑到第一个位置，第三个元素跑到第二个位置，第一个元素跑到第三个位置；如果原来是{a,b,c}的话，那么执行x操作，就变成了{b,a,c}；执行y操作，就变成了{b,c,a}。
2、x操作是二阶的，因为x·x=1，表示恒等变换；y操作是三阶的，因为y·y·y=1。实际上，S3只有6个元素，而且都是用x和y的组合操作实现的。
共轭操作
1、设u和v是S3里面的元素，u的逆元素是w，那么v'=uvw就表示v的一个共轭。比如，yy关于yx的共轭是y。
2、如果v遍历S3所有的元素，固定u为xy，那么所有关于u的共轭，就是S3的一个置换：xy·{1,x,y,yy,xy,yx}·xy注意，xy的逆元素是xy。
3、如果u遍历S3的所有元素，那么v的所有共轭，组成一个共轭类。
4、这样，我们可以把所有元素的共轭类写出来：x的共轭类包括{x,xy,yx}y的共轭类包括{y,yy}yy的共轭类包括{y,yy}xy的共轭类包括{x,xy,yx}yx的共轭类包括{x,xy,yx}单位元的共轭类是{1}。
5、可以发现，共轭类只有三类：{1}、{y,yy}、{x,xy,yx}。这是S3的一种分类方法。类方程是指：|S3|=|{1}|+|{y,yy}|+|{x,xy,yx}|6=1+2+3不同的共轭类的元素数目之和，就是S3的元素数目。
6、如果v关于u的共轭v'等于v，就说u属于v的中心化子。比如，x的中心化子是{1,x}、y的中心化子是{1,y,yy}、yy的中心化子是{1,y,yy}、xy的中心化子是{1,xy}、yx的中心化子是{1,yx}。
7、注意，x的中心化子是{1,x}，x的共轭类是{x,xy,yx}，那么：|S3|=|{1,x}|·|{x,xy,yx}|6=2*3其它元素都有类似公式。
8、单位元1的中心化子是S3的所有元素，它的共轭类是{1}。这样，6=6*1也是符合公式的。