置换,这个很容易理解的。对给定的一组东西进行重新排列,就是一次置换。假设这一组东西共有n个元素,那么它们就有n!种不同的置换。可是,每一个置换,都有一个n阶的置换矩阵与之对应,这该怎么理解呢?本文,我就以n等于4为例,做一番说明。
工具/原料
电脑
Mathematica
方法/步骤
1、本文,我们要介绍的是4阶置湍恬擒舍换,一共有24种不同的情形。以a,b,c,d为例,全排列有24种情形,每一种崂篙佑姜情形对应一种置换。下图是给出的24种排列:A={a,b,c,d};Partition[Permutations[A],3]//Grid注意,{a,b,c,d}也是一种置换,表示不变。
2、上面的不变,对应的置换艏婊锬曛矩阵是4阶单位矩阵。因为把{a,b,c,d}视为列向量,而4阶单位矩阵与它的矩阵积,得到的还是它本身。如果:Z1={{1,0,扉钛笆哇0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}};那么:Z1.A=A。
3、看一下上图,里面有一种置换是{b,a,c,d},其实就是把第一个元素和第二个元素对换一下位置。而它对应的置换矩阵Z2,就是把4阶单位矩阵的第一行和第二行对换位置。
4、验证的方法是:Z2.A,结果就是{b,a,c,d}。
5、这样,每一个置换u,都对应着一个置换矩阵U;这个置换矩阵U,是通过对单位矩阵,行变换得到的;Zu.A与置换u是一样的。
6、这样,4阶置换矩阵一共有24个,它们的集合在矩阵乘法下,构成一个群——:4阶对称群S4。Mathematica可以画出这个群的凯莱图:CayleyGraph[SymmetricGroup[4],ImageSize->500]