这里，我们打算用Mathematica演示一下函数的级数展开式对于该函数的逼近现象。大家都知道，级数如果是收敛的话，那么项数越多，与对应的函数的误差越小；而Mathematica不仅能够求出函数的各种级数展开，还可以绘制级数的图像，并且能够动态的展示级数与函数的逼近情况！开始。
工具/原料
电脑
Mathematica
方法/步骤
1、先来求正弦函数sinx在x=0时的幂级数展开式，且使得级数式取到x^20项（20阶）：Series[Sin[x],{x,0,20}]
2、用列表的形式，把sinx的前20阶的幂级数展开式表示出来：Table[Series[Sin[x],{x,0,n}],{n,1,20}]
3、如果感觉有点乱，可以用Column进行排列：Table[Series[Sin[x],{x,0,n}],{n,1,20}]//Column这样观察起来就容易多了！
4、我们把sinx的前20阶幂级数的余项去掉，便于作图：Tabl娣定撰钠e[Series[Sin[x],{x,扉钛笆哇0,n}],{n,1,20}]//Column//NormalTable[Series[Sin[x],{x,0,n}],{n,1,20}]//Normal//Column大家可以比较一下上面两个代码运行之后的结果，看看有什么区别，并思考一下出现这种区别的原因！
5、把sinx的前20阶幂级数的图像画出来，并与sinx的图像加艮劁飨戽以比较：Plot[Evaluate[Table[Normal[Series[Sin[x],{x,0,惺绅寨瞀n}]],{n,1,20,1}]],{x,0,4Pi},PlotRange->3]和Plot[Evaluate[Table[Normal[Series[Sin[x],{x,0,n}]],{n,1,20,1}]],{x,0,4Pi},PlotRange->100]和Plot[{Sin[x],Evaluate[Table[Normal[Series[Sin[x，{x,0,n}]],{n,1,20,1}]]},{x，0,4Pi},PlotRange->3]注意，当PlotRange取到100的时候，sinx的波动几乎就是看不着了！
6、用动态图模拟这个逼近过程：Manipulate[Plot[{Sin[x],Evaluate[Normal[Series[Sin[x],{x,0,n}]]]},{x,0,10Pi},PlotRange->2]，{n,1,20,1}]
7、感觉逼近的程度不够？那就要继续增加幂级数的阶数，100阶：Manipulate[Plot[{Sin[X],Evaluate[NorMal[Series[Sin[x],{x,0,n}]]]},{x,0,10Pi},PlotRange->2],{n,1,100,1}]
8、再换一个函数——e^x：Manipulate[Plot[{E^X，Evaluate[Normal[Series[E^x,{x,0,n}]]]},{x,0,3Pi},PlotRange->100],{n,1,10,1}]e^x和sinx有一个特点，就是它们的幂级数处处收敛！
9、如果换一个不能处处收敛的呢？比如tanx：Manipulat娣定撰钠e[Plot[{Tan[x],Evalu锾攒揉敫ate[Normal[Series[Tan[X],{x，0,n}]]]},{x,0,3Pi},PlotRange->10],{n,1,60,1}]发现，只有在收敛区间内，幂级数才能逼近函数！
