步骤1(理论部分)
在高中的各类考试尤其是高考中,高次方程频繁出现并且成为同学们一个十分头疼的问题,高次方程处理方法灵活多变,不管其如何变,都能用高中知识来解决,但是如果掌握了高次方程的解法,相信对于此类问题必能无往而不胜!
首先以方程x3-5x2+8x-4=0为例介绍两种方法。
方法1:(进行灵活变换,对能力要求较高)
原式可转化为:x3-8-5x2+8x-4+8=0,注意到x3-8可用立方差公式变形,所以将原式变为(x-2)(x2+2x+2)-(5x2-8x-4)=0,左边第二项是一个二次方程,其中一个根为2,所以再次变形为(x-2)(x2+2x+2)-(x-2)(5x+2)=0,将(x=2)提出,则最后变为(x-2)2(x-1)=0,该三次方程的两个根出来了,结合导函数刻画出图像,便能解决该函数的所有问题。
方法2:(多项式除法,推荐使用)
可用原方程的常数项的因数来试,得到原方程的一个根,例如,4的因数有1,-1,2,-2,4,-4到2为原方程的一个根。然后除法用等号左面“除以”x=2,“商”x2-3x+2,接着用处理二次方程的手段处理即可
步骤2(应用部分)
那么我们如何将两种方法用到实际的考题中呢?
(2013·新课标全国卷)1若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像关于直线x=-2称,则f(x)的最大值是______.
此题的参考答案给的方法如下:
解析:∵函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,∴f(x)满足f(0)=f(-4),f(-1)=f(-3),代入解得a=8,b=15.
∴f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15.由f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0,得x1=-2-5,x2=-2,x3=-2+5.
易知,f(x)在(-∞,-2-5)上为增函数,在(-2-5,-2)上为减函数,在(-2,-2+5)上为增函数,在(-2+5,+∞)上为减函数.
∴f(-2-5)=[1-(-2-5)2][(-2-5)2+8(-2-5)+15]=(-8-45)(8-45)=80-64=16.
f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15]=-3(4-16+15)=-9.
f(-2+5)=[1-(-2+5)2][(-2+5)2+8(-2+5)+15]=(-8+45)(8+45)=80-64=16.
故f(x)的最大值为16.
点评:参考答案中用了换元的方法和调和的思想,为试题增添了不小的难度,但是若用上述方法便可将此题常规化从而使考生得分,在此不再举例,祝同学们能有所收获!