很多朋友对非欧几何一直想不大明白，一直很好奇，那么今天就跟着小编来看看吧。
工具/原料
笔
笔记本
方法/步骤
1、从集论的角度看，R是一个实数集，那么从几何的角度看呢？单纯来说，实数集R什么也不是，原则上只有当在R上定义了距离s（对于R上的两点x，y，x与y之间有一个距离s，且s=lx-yl）时，R才可被看作实直线，换句话说几何实质上是取决于定义在集合上的距离而非集合本身，距离s就是一楼所说的度量。
2、问题是通常情况下我们对定义在集合上的距离跟集合本身不加区别地讨酹汹钕拚论，好像集合上的距离是理所当然地存在，而且是唯一的，对于伊怕锱鳏R这是很自然的想法，但是对于R的笛卡儿积RxR呢？如何定义RxR上的距离s呢，这就不太好说了，欧氏几何就是默认对于RxR上的两点（x,y），（x',y'），它们之间的距离s^2=(x-x')^2+(y-y')^2，s^2表示s的平方，从微分角度就是ds^2=dx^2+dy^2，这样RxR就是我们通常说的平面。
3、还能不能在RxR上邈赕瑟遂定义其他的距离呢？当然能，只是我们究竟会得到怎样的几何？这样的几何和“平面”有多大的区别？例如我们可以定义ds^2=(dx^2+dy炷翁壳唏^2)/y^2，如此一来就得到了所谓的“庞加莱半平面”，它有很多“奇异”的性质，如它的“直线”（就是测地线，使两点之间距离最短的线）可以是欧氏平面上的半圆，此外，对于“庞加莱半平面”，欧氏第五公设不成立（这样一来“庞加莱半平面”究竟是不是几何呢？是否只有“欧氏平面”才能算是几何呢？抽象的个性和共性有时似乎是不那么容易被统一的）。
4、从上面的论述就可以看出，当代欧氏几何和非欧几何在理解上应该是一致的，关键只是在于对“几何”的定义，而这正正是一般人所容易忽略的（他们由于经验和习惯的原因往往只是看到几何“理所当然的一面”）。它们之间的神秘鸿沟其实是由数学史的艰辛进程带来的，跟数学的实质没有什么关系，第五公设的故事只是说明对于数学学者来说，勇气特别是敢于跟传统观念对立的勇气有时比智慧更加有价值。
