如下佼沣族昀：
设f(x)=e^(x-1)–x，f’(x)=e^(x-1)-1；f”(x)=e^(x-1像粜杵泳)。
f(1)=0，f’(1)=0，f”(x)>0，所以f(x)在x=1有绝对的最低值。
f(x)=e^(x-1)-x≥f(1)=0。
所以e^(x-1)≥x。
设xi>0，i=1，n。算术平均值为a=(x1+x2+x3+…+xn)/n，a>0。
x/a≤e^(x/a-1)。
(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a)≤e^(x1/a-1)e^(x2/a-1)e^(x3/a-1)…e^(xn/a-1)。
=e^(x1/a-1+x2/a-1+x3/a-1+…xn/a-1)。
=e^[(x1+x2+x3+…+xn)/a-n]。
=e^[na/a-n]=e^0=1。
所以：
(x1/a)*(x2/a)*(x3/a)*…*(xn/a)。
=(x1*x2*x3*…*xn)/a^n≤1。
即(x1*x2*x3*…*xn)≤a^n。
(x1*x2*x3*…*xn)^(1/n)≤a,即算术平均数大于等于几何平均数。
相关内容解释
关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：
（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）
用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。
注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。