主要内容为归纳三角函数y=2sin(2x+π/8)的定义域、值域、单调、周期、对称轴、切线等有关性质。
工具/原料
定积分与区域面积
正弦函数性质
导数与函数性质
三角函数的定义域值域基本性质
1、三角函数y=2sin(2x+π/8)的定义域、值域、单调、周期、对称轴、切线等有关性质。
函数的对称轴单调等性质
1、正弦函数y=2sin(2x+π/8)在极值处有对称轴，即：2x+π/8=kπ+π/2,k∈Z.2x=kπ+π/2-π/8则对称轴为：x=(kπ/2)+3π/16.
2、函数的单调性也叫函数的增减性。当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大(或减小)时，函数值f(x)也随着增大(或减小)，则称该函数为在该区间上具有单调性。
3、函数的单调性是函数的重要性质，反映了随着自变量的增加函数值的变化趋势。本例子主要介绍通过基本正弦函数y=sinx的单调性，去求解复合正弦函数y=2sin(2x+π/8)的单调性及单调区间。
导数及其应用
1、求该三角函数y=2sin(2x+π/8拘七呷憎)的一阶、二阶导数等。先求出一阶导数为：y'=4cos(2x+π/8).，再求二阶导数，即y''=d^2y/dx^2=幻腾寂埒-4sin(2x+π/8）*2=-sin(2x+π/8）。可见正弦函数的多阶导数是在正弦和余弦函数之间互相转换。
2、求y=2sin(2x+π/8)图像上A猾诮沓靥((1/48)π，1)和B（(9/16)π，-√2）处的切线方程。解：y=2sin(2x+π/8)，则：y'=4cos(2x+π/8像粜杵泳).(1)在点A((1/48)π，1)处，有：y'=4cos[2*(1/48)π+π/8]=4cosπ/6=4√3/2,则该点处的切线方程为：y-1=4√3/2[x-(1/48)π]。
3、求图像y=2sin(2x+π/8)半个作辈碇锅周期内与x轴围成的面积。解：先求其中半个周期内x的坐标点，即：C(-(1/1鲂番黟谊6)π,0,),D((3/16)π,0).此时围成的区域面积为：S=∫[Cx，Dx]ydx=∫[Cx，Dx]2sin(2x+π/8)dx=∫[Cx，Dx]sin(2x+π/8)d(2x+π/8)=-cos(2x+π/8)[-(1/16)π,(3/16)π]=-(cosπ/2-cos0)=1.
4、求直线y=12x/π+(3/4)与正弦函数y=2sin(2x+π/8)围成区域的面积。解：y1=12x/π+(3/4)与y2=2sin(2x+π/8)的交点分别为：E(-(1/8)π,0,),F((1/48)π，1).
5、可见定积分，是求解曲线与坐标轴、曲线与直线围成区域面积计算的重要方法。
三角正弦函数基本性质
1、对于任意一个实数x都对应着唯一的角，而这个角又对应着唯一确定的正弦值sinx，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sinx与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sinx，叫作正弦函数。
2、正弦函数的几个数量等式关系：（1）平方和关系：:（sinα）郏柃妒嘌^2+（cosα）^2=1；（2）积的关系：sinα=tanα×cosα（即sinα/cosα=tanα傧韭茆鳟）；(3)倒数关系:sinα×cscα=1;(4）商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα。
3、由于正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦，因此正弦函数满足微分方程y''=-y,这就是正弦的微分方程定义。