【抽象代数】代数整数环Z[sqrt(-5)]的单位

假设δ=sqrt猾诮沓靥(-5)，那么，R=Z[δ]就是一个代数整数环。这是一个虚二次域里面的代数整数环，可以知道，这个环的单位只有有限个。本文的目标，是找出这个环的所有单位。

工具/原料

电脑

python

方法/步骤

1、a是代数整数环的单位，当且仅当1/a和a都是这个环里面的元素。

2、a是二次域里面的代数整数，当且仅当a是首一整系数二次多项式的根。

3、1/a也是二次域里面的代数整数，当且仅当1/a是首一整系数二次多项式的根。

4、上式两边同乘以a^2，得到：1+ma+na^2=0这说明，n只能等于±1。

5、如果n等于-1，那么相应的二次多项式将全都是实数根。而且当m不等于0的话，sqrt(m^2+4)必定是实无理数，这样，与a是Z[δ]里面的代数整数矛盾。

6、当n=-1，m=0，多项式变为：x^2-1。此式有两个根x=±1，它们是Z[δ]里面的元素，所以这两个元素是Z[δ]的单位。除此以外，还有别的单位吗？

7、要寻找别的单位，只能考虑n=1的情形跷孳岔养。如果Δ=m^2-4<0，m的取值只能是0、±1，相应的根分滕匿晡箸别是：当m=0，x=±i不属于Z[δ]；当m=1，x=(-1±sqrt(-3))/2不属于Z[δ]；当m=-1，x=(1±sqrt(-3))/2不属于Z[δ]。

8、如果Δ=m^2-4>0，那么Δ必虔銎哂埽须是平方数：m是偶数的话，设m=2r，Δ=4(r^2-1)不可能是平方数；m是奇数鹚兢尖睁的话，设m^2-4=p^2，(m+p)(m-p)=4，所以m+p=4，m-p=1，解得m=3/2，与m是整数矛盾。综上所述，Z[δ]的单位只能是±1。