本经验通过函数的定义域、单调性、凸凹性、极限，奇偶性等，用导数工具介绍函数y=5/(x^2+1)的图像的主要步骤。
工具/原料
函数图像有关知识
对数函数性质等相关知识
主要方法与步骤
1、本文介绍分数函数y=5/(x^2+1)的定义域、单调性、凸凹性、极限、奇偶性等函数性质，并通过函数的导数知识求解函数y=5/(x^2+1)的单调区间和凸凹区间。函数的定义域，结合分式函数的性质，分析求解函数的定义域。
2、函数y=5/(x^2+1)的单调性，通过函数的一阶导数，求出函数的单调区间。
3、y=5/(x^2+1)，分母y1=x^2+1，为二次脑栲葱蛸函数，图像关于y轴对称，开口向上，当x≥0时，y1函数为增函数，当x＜0骀旬沃啭时，y1函数为减函数，再取倒数时，则函数单调性相反，即：当x≥0时，y函数为减函数，当x＜0时，y函数为增函数。
4、函数极值与极限，函数的最大值和无穷端点处的极限。lim(x→-∞)5/(x^2+1)=0;lim(x→0)5/(x^2+1)=5;lim(x→-∞)5/(x^2+1)=0。
5、函数的凸凹性，通过函数的二阶珑廛躬儆导数，解析函数的凸凹区间。d^2y/dx^2=-10[(1x^2+1)^2-x*2(1x^2+1)*2ax]/(x^2+1)^桃轾庾殇4,d^2y/dx^2=-10[(1x^2+1)-4x^2]/(x^2+1)^3,d^2y/dx^2=10(3x^2-1)/(x^2+1)^3,令d^2y/dx^2=0，则3x^2-1=0，即x^2=1/3,求出x1=-(1/3)√3，x2=(1/3)√3。（1）当x∈(-∞，-(1/3)√3),((1/3)√3，+∞)时，d^2y/dx^2＞0，则此时函数y为凹函数，（2）当∈[-(1/3)√3,(1/3)√3]时，dy/dx≤0，则此时函数y为增函数。
6、根据奇偶性判断原则，判断函数为偶函数。因为f(x)=5/(x^2+1),所以f(-x)=5/[1(-x)^2+1]=5/(x^2+1)=f(x),即函数为偶函数，函数图像关于y轴对称。
7、该偶数分式函数y=5/(x^2+1)部分点解析表如下：
8、函数的示意图，综合以上函数定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性和极限的性质，函数y=5/(x^2+1)的示意图如下：
9、导数的应用举例：求点A(0,5/1)处的切线。根据导数的镉胶鱿瓜几何定义，此时切线的斜率kA=0，即此时切线方程为y=5/1.求点B(-1,5/2)处的切线。此时切线鹚兢尖睁的斜率KB=5/2，即可得函数的切线方程为：y-5/2=5/2(x+1);