矩形矩阵A的奇异值和对应的奇异向量分别为满足以下条件的标量σ以及一对向量u和v其中AH是A的Hermitian转置。奇异向量u和v通常缩放至范数为1。此外，如果u和v均为A的奇异向量，则-u和-v也为A的奇异向量。
工具/原料
电脑
matlab
方法/步骤
1、奇异值σ始终为非负实数，即使A为复数也是如此。对于对角矩阵Σ的对角线上的奇异值以及构成两个正交矩阵U和V的列的对应奇异向量，方程为
2、由于U和V均为单位矩阵，因此将第一个方程的右侧乘以VH会生成奇异值分解方程
3、m×n矩阵的完整奇异值分解谭终沫冀涉及m×mU、m×nΣ以及n×nV。换句话说，U和V均为方阵，Σ与惺绅寨瞀A的大小相同。如果A的行数远多于列数(m>n)，则得到的m×m矩阵U为大型矩阵。但是，U中的大多数列与Σ中的零相乘。在这种情况下，精简分解可通过生成一个m×nU、一个n×nΣ以及相同的V来同时节省时间和存储空间：
4、特征值分解是分析矩阵（当矩形表示从向量空间到其自身的缛典蛸疸映射时）的合适工具，就像分析常微分方程一样。但是，奇异值分解是分析从一个向量空间到另一个向量空间（可能具有不同鹚兢尖睁的维度）的映射的合适工具。大多数联立线性方程组都属于这第二类。如果A是方形的对称正定矩阵，则其特征值分解和奇异值分解相同。但是，当A偏离对称性和正定性时，这两种分解之间的差异就会增加。特别是，实矩阵的奇异值分解始终为实数，但非对称实矩阵的特征值分解可能为复数。对于示例矩阵
5、完整的奇异值分解为
6、可以验证U*S*V'在舍入误差界限内是否等于A。对于此类小问题，精简分解只是略小一些。
7、同样，U*S*V'咯悝滩镞在舍入误差界限内等于A。如果矩阵A很大并且是稀疏矩阵，则使用svd来计算所有奇异值和向量在某些情况下可能会不太切合实际。例如芟坳葩津，如果您只需了解几个最大的奇异值，则计算一个5000×5000稀疏矩阵的所有奇异值会带来大量额外工作。在只需要一部分奇异值和向量的情况下，svds函数优先于svd。对于一个密度约为30%的1000×1000随机稀疏矩阵，
8、最大的六个奇异值为S=svds(A)
9、此外，最小的六个奇异值为S=svds(A,6,'smallest')
10、对于可作为满矩阵full(A)载入内存的较小矩阵，使用svd(full(A))的速度可能仍旧快于使用svds。但对于确实很大的稀疏矩阵，就有必要使用svds。