本文，用Mathematica研究一下曲线的参数方程、切向量、切线方程、法平面方程、弧长和自然参数等内容。不过，这里不作严格的证明，只作最简单的数值检测。
工具/原料
电脑
Mathematica
方法/步骤
1、圆柱螺旋的参数方程是：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}ParametricPlot3D[r[t],{t,0,6*Pi}]
2、圆柱螺旋是正则曲线，因为r'[t]≠0。r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}r'[t]r'[t].r'[t]//FullSimplify
3、求圆柱螺旋r[t]在t=π/3时的切线方程：r[t_]:={觊皱筠桡Cos[t],Sin[t],t/6}p={x,y,z};p-r[t]=租涫疼迟=ar'[t]消去参数a，就得到螺旋线的切线方程：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}p={x,y,z};Eliminate[p-r[t]-ar'[t]==0,a]再用Rule指定t->π/3就行了。
4、求r[t]的法平面的方程：r[t_]:={Cos[t],Sin[t],t/6}p={x,y,z};因为法平面和切向量垂直，所以(p-r[t]).(r'[t])==0这就是法平面方程。
5、求螺旋线在｛t,0,t｝之间的弧长：r[t_]:={Cos[隋茚粟胫t],Sin[t],t/6}Integrate[Sqrt[r'[墉掠载牿t].r'[t]],{t,0,t}]Mathematica有一个专门求曲线的弧长的函数：ArcLength[r[t],{t,0,t}]
6、如果把正则曲线的弧长记为s，有：s=s[t]求出s和t擢爻充种的反函数：t=t[s]，就得到了曲线的自收墩芬蓥然参数方程：r[s_]:=(r[t])/.t->6*s/Sqrt[37]r[s]//Simplify//TraditionalForm此时，自然参数方程是：r[s_]:={Cos[6s/Sqrt[37]],Sin[6s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]}
7、在自然参数下，r[s]的微商的模长是1。r[s_]:={Cos[6s/Sqrt[37]],Sin[6s/Sqrt[37]],s/Sqrt[37]}r[s]r'[s]r'[s].r'[s]r'[s].r'[s]//Simplify
