给定标准正方形的参数方程：{Abs[Cos[v]]Cos[v],Abs[Sin[v]]Sin[v]}图形如下图所示。本文要算出，当v从0到2Pi之间变化的时候，曲线对应的弧长函数和反函数。
工具/原料
电脑
Mathematica
方法/步骤
1、先来构造弧长函数：Floor[(2x)/Pi]Sqrt[2]+Sqrt[2]Sin[x+Floor[(2x)/Pi]*(Pi/2)]^2
2、这是一个单调递增函数，其图像如下：
3、试图通过解方程的方法，来求取反函数，结果是不能求取。
4、用分段函数来表示弧长函数：l[x_]:=Piecewise[{{Sqrt[2]咯悝滩镞Sin[x]^2,0<=x<=Pi/2},{Sqrt[婷钠痢灵2]+Sqrt[2]Cos[x]^2,Pi/2<x<=Pi},{2Sqrt[2]+Sqrt[2]Sin[x]^2,Pi<x<=Pi*3/2},{3Sqrt[2]+Sqrt[2]Cos[x]^2,Pi*3/2<x<=Pi*2}}]用这个分段函数解方程，可以算出反函数：
5、把这个求解结果，转化为分段函数，并绘制图像：ll[t_觥终柯计]:=Piecewise[{{1/2ArcCos[(Sqrt[2]-2t)/Sqrt[2]],0<=t<惺绅寨瞀Sqrt[2]},{1/2(2\[Pi]-ArcCos[-((3Sqrt[2]-2t)/Sqrt[2])]),Sqrt[2]<=t<2Sqrt[2]},{1/2(2\[Pi]+ArcCos[(5Sqrt[2]-2t)/Sqrt[2]]),2Sqrt[2]<=t<3Sqrt[2]},{1/2(4\[Pi]-ArcCos[-((7Sqrt[2]-2t)/Sqrt[2])]),3Sqrt[2]<=t<4Sqrt[2]}}]Plot[{l[x],ll[x]},{x,0,2Pi},AspectRatio->Automatic,PlotRange->{{0,2Pi},{0,2Pi}},ImageSize->{360,360}]
6、对这个分段函数进行整理，可以集约化为一个统一的表达式：
7、通过图像可以证明，这个函数确实是弧长函数的反函数。
